В работе изучены свойства многочленов с коэффициентами в кольцах с делением. Получены формулы для нахождения корней многочленов, являющихся произведением линейных множителей, обобщающие известные результаты для кватернионных алгебр. Как известно, если минимальный многочлен класса сопряженности А в некоммутативном кольце с делением является квадратичным, то любой многочлен, имеющий два корня в A, обнуляется тождественно на A. В работе показано, что в случае класса сопряженности с минимальным многочленом большей степени ситуация принципиально другая. Для любого класса сопряженности с минимальным многочленом степени >2 построен квадратичный многочлен, имеющий бесконечно много корней в этом классе, при этом в данном классе сопряженности имеется бесконечно много элементов, не являющихся корнями такого многочлена.
1. Lam T. Y. A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics 131. New York, Springer-Verlag, 2001. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-8616-0
2. Gordon B., Motzkin T. S. On the zeros of polynomials over division rings. Transactions of the American Mathematical Society, 1965, vol. 116, pp. 218–226. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1965-0195853-2
3. Huang L., So W. Quadratic formulas for quaternions. Applied Mathematics Letters, 2002, vol. 15, no. 5, pp. 533–540. https://doi.org/10.1016/s0893-9659(02)80003-9
4. Abrate M. Quadratic formulas for generalized quaternions. Journal of Algebra and its Applications, 2009, vol. 8, no. 3, pp. 289–306. https://doi.org/10.1142/s0219498809003308
5. Chapman A. Quaternion quadratic equations in characteristic 2. Journal of Algebra and its Applications, 2015, vol. 14, no. 3, art. 1550033. https://doi.org/10.1142/s0219498815500334
6. Serodio R., Pereira E., Vitoria J. Computing the zeros of quaternion polynomials. Computers and Mathematics with Applications, 2001, vol. 42, no. 8–9, pp. 1229–1237. https://doi.org/10.1016/s0898-1221(01)00235-8
7. Janovska D., Opfer G. A note on the computation of all zeros of simple quaternionic polynomials. SIAM Journal of Numerical Analysis, 2010, vol. 48, no. 1, pp. 244–256. https://doi.org/10.1137/090748871
8. Chapman A., Machen C. Standard polynomial equations over division algebras. Advances in Applied Clifford Algebras, 2017, vol. 27, pp. 1065–1072. https://doi.org/10.1007/s00006-016-0740-4
9. Chapman A. Polynomial equations over octonion algebras. Journal of Algebra and its Applications, 2020, vol. 19, no. 6, art. 2050102. https://doi.org/10.1142/s0219498820501029
10. Falcão M. I., Miranda F., Severino R., Soares M. J. Mathematica tools for quaternionic polynomials. Computational science and its applications. ICCSA 2017. 2017, part II, pp. 394–408. https://doi.org/10.1007/978-3-319-62395-5_27
11. Serodio R., Siu L.-S. Zeros of quaternion polynomials. Applied Mathematics Letters, 2001, vol. 14, no. 2, pp. 237–239. https://doi.org/10.1016/s0893-9659(00)00142-7
