Алгебраические числа – это корни многочленов с целыми коэффициентами. Каждое алгебраическое число α характеризуется своим минимальным многочленом Pα – многочленом наименьшей положительной степени с целыми взаимно простыми коэффициентами, для которого α является корнем. Степень этого многочлена называется степенью числа α, а максимум модулей коэффициентов – высотой числа α. В работе рассматривается распределение алгебраических чисел α, степень которых фиксирована, высота ограничена растущим параметром Q, а минимальный многочлен Pα таков, что абсолютное значение его производной P′α (α) ограничено заданной величиной X. Показано, что когда ограничение X на производную лежит в определенном диапазоне, при Q → +∞ такие алгебраические числа распределяются равномерно в отрезке [-1+√2/3.1-√2/3].
1. Baker, R. C. Sprindzuk’s theorem and Hausdorff dimension / R. C. Baker // Mathematika. – 1976. – Vol. 23, № 2. – P. 184–197. https://doi.org/10.1112/s0025579300008780
2. Берник, В. И. О числе целочисленных многочленов заданной степени и ограниченной высоты с малой производной в корне многочлена / В. И. Берник, Д. В. Васильев, А. С. Кудин // Тр. Ин-та математики – 2014. – Т. 22, № 2. – С. 3–8.
3. Кудин, А. С. Об оценке снизу количества целочисленных многочленов заданной степени с малой производной в корне / А. С. Кудин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2014. – № 4. – С. 112–115.
4. Кудин, А. С. Об оценке сверху количества многочленов с ограниченной производной в корне / А. С. Кудин // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2015. – Т. 59, № 6. – С. 18–23.
5. Kudin, A. Counting real algebraic numbers with bounded derivative of minimal polynomial / A. Kudin, D. Vasilyev // Int. J. Number Theory. – 2019. – Vol. 15, № 10. – P. 2223–2239. https://doi.org/10.1142/s1793042119501227
6. Васильев, Д. В. Об оценках сверху числа минимальных полиномов с малой производной в корне / Д. В. Васильев, А. С. Кудин // Чебышев. сб. – 2019. – Т. 20, № 2. – С. 47–54. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-47-54
7. Koleda, D. On the density function of the distribution of real algebraic numbers / D. Koleda // J. Théor. Nombres Bordeaux. – 2017. – Vol. 29, № 1. – P. 179–200. https://doi.org/10.5802/jtnb.975
8. van der Waerden, B. L. Die Seltenheit der reduziblen Gleichungen und der Gleichungen mit Affekt / B. L. van der Waerden // Monatsh. Math. Phys. – 1936. – Vol. 43, № 1. – P. 133–147. https://doi.org/10.1007/bf01707594
9. Kuba, G. On the distribution of reducible polynomials / G. Kuba // Math. Slovaca. – 2009. – Vol. 59, № 3. – P. 349–356. https://doi.org/10.2478/s12175-009-0131-6
10. Dubickas, A. On the number of reducible polynomials of bounded naive height / A. Dubickas // Manuscripta Math. – 2014. – Vol. 144, № 3/4. – P. 439–456. https://doi.org/10.1007/s00229-014-0657-y
11. Davenport, H. On a principle of Lipschitz / H. Davenport // J. London Math. Soc. – 1951. – Vol. s1-26, № 3. – P. 179–
12. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-26.3.179 (Davenport, H. Corrigendum: «On a principle of Lipschitz» / H. Davenport // J. London Math. Soc. – 1964. – Vol. s1-39.№ 1. – P. 580. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-39.1.580-t)
13. Коледа, Д. В. О распределении вещественных алгебраических чисел равной высоты / Д. В. Коледа // Дальневост. мат. журн. – 2018. – Вып. 1. – С. 56–70.
