В исследованиях эффективных свойств двумерных композиционных материалов наиболее изученным является случай материалов с периодической микроструктурой. Это связано с возможностью представления решений соответствующих краевых задач через значения некоторых эллиптических функций. В данной работе рассматривается однородная краевая задача Римана для бесконечно связных областей и мероморфных коэффициентов. В замкнутой форме дается решение задачи в классе кусочно-аналитических функций, допускающих мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость. Как частный случай решается вопрос существования и единственности двоякопериодических решений задачи с эллиптическим коэффициентом. Приводится пример задачи, имеющей единственное, с точностью до произвольного числового множителя, решение, и пример задачи, решение которой зависит от произвольных независимых параметров. Полученные результаты могут служить базой для исследования случая, когда коэффициенты задачи являются различными для каждого из контуров, а также при решении неоднородной задачи Римана с мероморфными коэффициентами и свободными членами в бесконечно связных областях.
Юхимук М. М. ОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА С МЕРОМОРФНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО СВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ. Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук. 2017;(2):24-35.
1. . Ахиезер, Н. И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов / Н. И. Ахиезер // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1945. – т. 9. – С. 275–290.
2. Говоров, Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н. В. Говоров. – М.: Наука, 1986. – 240 с.
3. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
4. Mityushev, V. V. Analytical Methods for Heat Conduction in Composites and Porous Media / V. V. Mityushev, E. V. Pesetskaya, S. V. Rogosin // Cellular and Porous Materials: Thermal Properties Simulation and Prediction / eds.: A. Öchsner, G. Murch, M. de Lemos. – Amsterdam: Wiley-VCH, 2007. – P. 124–167.
5. Чибрикова, л. И. О граничных задачах для прямоугольника / Л. И. Чибрикова // Учен. зап. Казан. ун-та. – 1964. – т. 123, кн. 10. – С. 15–39.
6. Аксентьева, Е. П. Задача Римана в случае двоякопериодического расположения дуг. I / Е. П. Аксентьева, И. Г. Салехова // Учен. зап. Казан. ун-та. – 2008. – т. 150, кн. 4. – С. 66–79.
7. Зверович, Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях / Э. И. Зверович // Успехи мат. наук. – 1971. – т. 26, вып. 1 (157). – С. 113–179.
8. Зверович, Э. И. Ядро Беенке – Штейна и решение в замкнутой форме краевой задачи Римана на торе / Э. И. Зверович // Докл. аН СССР. – 1969. – т. 188, № 1. – С. 27–30.
9. Дегтяренко, Н. а. Двоякопериодический мероморфный аналог ядра Коши и некоторые его применения / Н. а. Дегтяренко // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. – 1999. – № 8. – С. 11–19.
10. Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. – М.: Наука, 1970. – 304 с.
