Рассмотрено новое гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение произвольного порядка на замкнутой кривой, расположенной в комплексной плоскости. Интегралы в уравнении понимаются в смысле конечной части по Адамару. Уравнение относится к линейным интегро-дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами частного вида, характерной особенностью является его запись с помощью определителей, близких к определителям Вронского. Для исследования привлекается метод аналитического продолжения, свойства определителей, обобщенные формулы Сохоцкого. Уравнение сводится к краевой задаче Римана о скачке в некотором классе функций. Если задача Римана оказывается разрешимой, то далее следует решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения в классе аналитических функций в областях комплексной плоскости. Неочевидным является анализ получаемых решений в бесконечно удаленной точке. Исследование носит законченный характер. В явном виде выписаны условия разрешимости исходного уравнения. При их выполнении в явном виде записано решение, приведен пример.
1. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. – М.: Наука, 1978. – 352 с.
2. Бойков, И. В. Аналитические и численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Динам. системы. – 2019. – T. 9, № 3. – С. 244–272.
3. Зверович, Э. И. Решение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами / Э. И. Зверович // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2010. – T. 54, № 6. – С. 5–8.
4. Зверович, Э. И. Решение интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами специального вида / Э. И. Зверович, А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 404–407. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407
5. Шилин, А. П. Гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение эйлерова типа / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 1. – С. 17–29. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29
6. Шилин, А. П. О решении одного интегро-дифференциального уравнения с сингулярным и гиперсингулярным интегралами / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 3. – С. 298–309. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-298-309
7. Шилин, А. П. Дифференциальная краевая задача Римана и ее приложение к интегро-дифференциальным уравнениям / А. П. Шилин // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 4. – С. 391–397. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397
8. Шилин, А. П. Решение одного интегро-дифференциального уравнения второго порядка, заданного с помощью определителей / А. П. Шилин // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: материалы XV Междунар. науч.-техн. конф. (Пенза, Россия, 1–4 дек. 2020 г.) / под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. И. В. Бойкова. – Пенза, 2020. – С. 18–22.
9. Зверович, Э. И. Обобщение формул Сохоцкого / Э. И. Зверович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. физ.-мат. навук. – 2012. – № 2. – С. 24–28.
10. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
