Исследовано доказательство корректности постановки смешанной задачи для уравнения колебания струны в полуполосе с дифференциальными полиномами в граничных условиях. Для данной задачи выводятся условия существования единственного достаточно гладкого решения в полуполосе в целом. Показано, что она сводится к решению задач Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Изучены случаи, когда гладкость решения задачи с ростом времени ухудшается и когда этого не происходит. Для обоих случаев выведены достаточные условия ухудшения (сохранения) гладкости, основанные на коэффициентах граничных условий. Также с помощью метода характеристик выведены необходимые и достаточные условия согласования на исходные данные при заданной гладкости исходных функций, при которых существует единственное классическое решение поставленной задачи. Полученные результаты приведены как для однородного исходного уравнения, так и для случая, когда исходное уравнение является неоднородным.
1. Корзюк, В. И. Решение задачи Коши гиперболического уравнения для однородного дифференциального оператора в случае двух независимых переменных / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Доклады Национальной академии наук Беларуcи. – 2011. – Т. 55, № 5. – С. 9–13.
2. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для одномерного волнового уравнения с негладкими условиями Коши / В. И. Корзюк, С. И. Пузырный // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2016. – Т. 52, № 2. – С. 22–31.
3. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задача в полуполосе для линейного гиперболического уравнения второго порядка / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, А. А. Карпечина // Труды Института математики. – 2012. – Т. 20, № 2. – С. 64–74.
4. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе с косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 391–403. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391-403
5. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока с характеристическими косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2019. – Т. 55, № 1. – C. 7–21. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21
6. Staliarchuk, I. The classical solution of the mixed problem for the second-order hyperbolic equation with high order derivatives in boundary conditions / I. Staliarchuk // Global and Stochastic Analysis. – 2018. – Vol. 5, № 1. – P. 57–65.
7. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для одномерного волнового уравнения с производными высокого порядка в граничных условиях / В. И. Корзюк, С. Н. Наумовец // Доклады Национальной академии наук Беларуcи. – 2016. – Т. 60, № 3. – С. 11–17.
8. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Труды Института математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – C. 54–70.
9. Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Ленанд, 2021. – 479 с.
10. Матвеев, Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. М. Матвеев. – М.: Высш. шк., 1967. – 565 с.
