Интегральный метод решения задач теплопроводности с граничным условием второго рода. 2. Анализ точности
Представлен алгоритм нахождения полиномиальных решений краевых задач нестационарной теплопроводности с переменным во времени граничным условием второго рода для тел плоской геометрии, а также с цилиндрической и сферической симметрией. Данный алгоритм основан на введении в рассмотрение граничных характеристик в виде определенного набора из k-кратных производных и n-кратных интегралов от заданной в виде граничного условия временной функции теплового потока на поверхности тела. Отдельно рассмотрены две стадии процесса: 1 – температурный фронт не достигает центра симметрии тела; 2 – температурный фронт достигает центра симметрии тела и прогрев происходит по всему сечению. На примерах симметричного нагрева протяженной пластины с постоянным и переменным тепловым потоком продемонстрирована очень высокая точность предложенного подхода на основе интегрального метода граничных характеристик (ИМГХ). По сравнению с методом дополнительных граничных условий предложенный метод ИМГХ позволяет уменьшить относительную ошибку аппроксимации (при одинаковых степенях полиномов N) на три-пять порядков и более, доводя ее до пренебрежимо малых величин (0,00028 % при N = 11; 0,000025 % при N = 14). Установлено, что с каждым последующим приближением (посредством добавления в полином трех степеней) для первой стадии процесса аппроксимационная ошибка снижается на порядок. Для второй стадии процесса описан эффективный алгоритм нахождения собственных значений краевой задачи теплопроводности, связанный с введением в рассмотрение дополнительной функции, соответствующей наибольшей по порядку величины граничной интегральной характеристике. Это позволяет перевести получаемое на основе ИМГХ интегро-дифференциальное уравнение в обыкновенное дифференциальное уравнение с нулевыми начальными условиями. Проведенные расчеты температуры в центре симметрии пластины подтвердили исключительно высокую аппроксимационную точность предложенного подхода.
