Рассмотрены разностные схемы и итерационные методы для решения задач анизотропной диффузии, описываемых многомерными эллиптическими уравнениями со смешанными производными. На примере модельной двумерной задачи с разрывными коэффициентами показано, что спектральные свойства разностной задачи и эффективность ее переобусловливания при итерационной реализации зависят от способа аппроксимации смешанных производных. На основе сравнительного численного анализа выявлена наиболее адекватная схема аппроксимации смешанных производных, обеспечивающая максимальную скорость сходимости итерационного метода би-сопряженных градиентов с переобусловливателями Фурье – Якоби и неполной LU-факторизации. Показано, что свойство монотонности разностной схемы не гарантирует ее преимущество при итерационной реализации. Более того, в условиях сильной анизотропии не удается обеспечить выполнение сеточного принципа максимума.
1. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 735 c.
2. Самарский, A. A. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 432 c.
3. Ciarlet, P. G. The Finite Element Method for Elliptic Problems / P. G. Giarlet. – SIAM, 2002. – 530 р. https://doi.org/10.1137/1.9780898719208
4. Шишкин, Г. И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с параболическим пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1989. – Т. 29, №. 7. – С. 963–977.
5. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными / А. А. Самарский [и др.]. // Мат. моделирование. – 2001. – Т. 13, № 2.– С. 17–26.
6. Rybak, I. V. Monotone and conservative difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives // I. V. Rybak // Mathematical Modelling and Analysis. – 2004. – Vol. 9, №. 2. – P. 169–178.
7. 3D Finite-Difference BiCG Iterative Solver with the Fourier-Jacobi Preconditioner for the Anisotropic EIT/EEG Forward Problem / S. Turovets [et al.] // Comput. Math. Methods in Medicine. – 2014. – Vol. 2014. – P. 1–12. https://doi.org/10.1155/ 2014/426902
8. Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods / R. Barrett [et al.]. – SIAM, 1994. https://doi.org/10.1137/1.9781611971538.ch2
9. Мартыненко, С. И. Универсальная многосеточная технология для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных на структурированных сетках / С. И. Мартыненко // Вычисл. методы и программирование. – 2000. – Т. 1, №. 1. – С. 83–102.
